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1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解題過(guò)程如下：

解：因?yàn)椋╪+1）^3=n^3+3n^2+3n+1

則（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1

n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1

............

3^3-2^3=3*2^3+3*2+1

2^3-1^3=3*1^3+3*1+1

把等式兩邊同時(shí)求和得，

（n+1）^3-1^3

=（3n^2+3（n-1）^2+......+3*2^2+3*1^2）+（3n+3（n-1）+......+3*2+3*1）+n

=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3（n+（n-1）+......+2+1）+n

=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n

即，n^3+3n^2+3n=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n

整理得，n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6

即，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

擴(kuò)展資料：

數(shù)列求和的方法

1、公式法

（1）等差數(shù)列求和公式：Sn=1/2*n（a1+an）=d/2*n+（a1-d/2）*n

（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1（q=1）、Sn=a1*（1-q^n）/（1-q）（q≠1）

（3）自然數(shù)求和公式：（1+2+3+...+n）=n(n+1)/2

2、錯(cuò)位相減法

3、倒序相加法

4、分組法

5、裂項(xiàng)相消法

（1）1/（n*（n+1））=1/n-1/（n+1）

（2）1/（（2n-1）*（2n+1））=1/2（1/（2n-1）-1/（2n+1））

參考資料來(lái)源：百度百科-數(shù)列求和

參考資料來(lái)源：百度百科-平方和公式